大学级别的数学题目
测试 MathJax 3.2.2 专用高数综合例题（含分式、积分、级数、矩阵、极限、希腊字母、分段函数）
题目
设函数 \(f(x)= \begin{cases} \displaystyle \frac{\ln(1+x^2)}{x}, & x\neq 0\\[6pt] 0, & x=0 \end{cases}\)
- 求 $f’(0)$；
- 计算反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x}{(1+x^2)^2}\mathrm{d}x$；
- 判断级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \ln n}{\sqrt{n}}$ 的敛散性；
- 已知 \(A= \begin{pmatrix} 1 & \alpha & 2\\ 2 & 3 & \beta\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\) $|A|=4$，求 $\alpha,\beta$ 关系式；
- $z=x^3y+\sin(xy)$，求 $\displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}$
参考答案
1. 导数
\(f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} =\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x^2)}{x^2}\) \(f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{x^2}{x^2}=1\)
2. 积分
令 $u=1+x^2,\ \mathrm{d}u=2x\mathrm{d}x$ \(\int_{0}^{+\infty} \frac{x}{(1+x^2)^2}\mathrm{d}x =\frac12\int_{1}^{+\infty} u^{-2}\mathrm{d}u =\frac12\left.\left(-\frac1u\right)\right|_{1}^{+\infty} =\frac12\)
3. 级数判别
\(\left|\frac{(-1)^n \ln n}{\sqrt{n}}\right|=\frac{\ln n}{\sqrt{n}}\) \(\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n/\sqrt{n}}{1/n^{3/4}} =\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n^{1/4}}=+\infty\) 记 $u_n=\dfrac{\ln n}{\sqrt{n}}$，设 $g(x)=\dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}$ \(g'(x)=\frac{\dfrac1x\cdot\sqrt{x}-\ln x\cdot \dfrac1{2\sqrt{x}}}{x} =\frac{2-\ln x}{2x\sqrt{x}}\) $x>e^2$ 时单调递减，交错级数条件收敛。
4. 行列式
\(|A| =1\cdot\begin{vmatrix}3&\beta\\1&1\end{vmatrix} -\alpha\cdot\begin{vmatrix}2&\beta\\0&1\end{vmatrix} +2\cdot\begin{vmatrix}2&3\\0&1\end{vmatrix}\) \(=3-\beta-2\alpha+4=7-2\alpha-\beta\) \(7-2\alpha-\beta=4 \implies \boldsymbol{2\alpha+\beta=3}\)
5. 混合偏导
\(\frac{\partial z}{\partial x}=3x^2 y + y\cos(xy)\) \(\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} =3x^2 + \cos(xy) - xy\sin(xy)\)